## Ejemplos de exámenes

kill(all)$

define(norm2(vv),sqrt(sum(vv[k]^2,k,1,2)));
define(norm3(vv),sqrt(sum(vv[k]^2,k,1,3)));

### Ejemplo 1

/* Definimos la funcion */  
kill(a,b,c,f)$
define(f(x,y,z), z*(exp(x)*sin(%pi*y) +cos(%pi*x)*exp(y-1)) );

/* Definimosel punto a estudiar */  
a:0$ b:1$ c:1$ d:f(a,b,c);

/* Calculamos las derivadas parciales */
diff(f(x,y,z),x);
diff(f(x,y,z),y);
diff(f(x,y,z),z);

/* Calculamos el Jacobiano de la función */
gra:jacobian([f(x,y,z)],[x,y,z]);

/* Calculamos el Jacobiano de la función en el punto A */
grapto:ev(gra,x=a,y=b,z=c);

/* Definimos el vector normalizado */
v1:-3$ v2:0$ v3:4$ v:[v1,v2,v3]$ 
vec:v/norm3(v);

/* Calculamos la derivada direccional de f segun v y la evaluamos en (a,b) */
Du: grapto.vec;  /* Multiplicación de matrices */

d:[dx,dy,dz]$
grapto.d=0;

solve(%,[dx,dy,dz]);

/* Ecuacion del plano */
vn:[grapto[1,1],grapto[1,2],grapto[1,3],-1];
var:[x-a,y-b,z-c,w-f(a,b,c)];

vn.var;

define(plano(x,y,z),expand(vn.var)=0)$
plano(x,y,z);

/* Polinomio de Taylor  de orden 2 */;

define(jac(x,y,z),jacobian([f(x,y,z)],[x,y,z]));
define(hes(x,y,z),hessian(f(x,y,z),[x,y,z]));

jac(a,b,c);
hes(a,b,c);

pol:f(a,b,c)+jac(a,b,c).[x-a,y-b,z-c]+(1/2)*[x-a,y-b,z-c].hes(a,b,c).[x-a,y-b,z-c];

taylor(f(x,y,z),[x,y,z],[a,b,c],2);

### Ejemplo 2

/* Definimos la funcion */  
kill(a,b,c,f)$
define(f(x,y,z), (z/2)*(exp(2*x)*cos(y) +sin(2*x)*exp(y)) );

/* Definimosel punto a estudiar */  
a:0$ b:0$ c:2$ d:f(a,b,c);

/* Calculamos las derivadas parciales */
diff(f(x,y,z),x);
diff(f(x,y,z),y);
diff(f(x,y,z),z);

/* Calculamos el Jacobiano de la función */
gra:jacobian([f(x,y,z)],[x,y,z]);

/* Calculamos el Jacobiano de la función en el punto A */
grapto:ev(gra,x=a,y=b,z=c);

/* Definimos el vector normalizado */
v1:1$ v2:1$ v3:2$ v:[v1,v2,v3]$ 
vec:v/norm3(v);

/* Calculamos la derivada direccional de f segun v y la evaluamos en (a,b) */
Du: grapto.vec;  /* Multiplicación de matrices */

d:[dx,dy,dz]$
grapto.d=0;

solve(%,[dx,dy,dz]);

/* Ecuacion del plano */
vn:[grapto[1,1],grapto[1,2],grapto[1,3],-1];
var:[x-a,y-b,z-c,w-f(a,b,c)];

vn.var;

define(plano(x,y,z),expand(vn.var)=0)$
plano(x,y,z);

/* Polinomio de Taylor  de orden 2 */;

define(jac(x,y,z),jacobian([f(x,y,z)],[x,y,z]));
define(hes(x,y,z),hessian(f(x,y,z),[x,y,z]));

jac(a,b,c);
hes(a,b,c);

pol:f(a,b,c)+jac(a,b,c).[x-a,y-b,z-c]+(1/2)*[x-a,y-b,z-c].hes(a,b,c).[x-a,y-b,z-c];

taylor(f(x,y,z),[x,y,z],[a,b,c],2);

### Ejemplo 3

/* Definimos la funcion */  
kill(a,b,c,f)$
define(f(x,y,z), x*y*(exp(z/2)*sin(x) +cos(2*y)*exp(2*x)) );
define(norm3(vv),sqrt(sum(vv[k]^2,k,1,3)))$

/* Definimosel punto a estudiar */  
a:0$ b:%pi$ c:0$ d:f(a,b,c)$

/* Calculamos las derivadas parciales */
diff(f(x,y,z),x);
diff(f(x,y,z),y);
diff(f(x,y,z),z);

/* Calculamos el Jacobiano de la función */
gra:jacobian([f(x,y,z)],[x,y,z])$

/* Calculamos el Jacobiano de la función en el punto A */
grapto:ev(gra,x=a,y=b,z=c);

/* Definimos el vector normalizado */
v1:1$ v2:2$ v3:2$ v:[v1,v2,v3]$ 
vec:v/norm3(v);

/* Calculamos la derivada direccional de f segun v y la evaluamos en (a,b) */
Du: grapto.vec;  /* Multiplicación de matrices */

d:[dx,dy,dz]$
grapto.d=0;

solve(%,[dx,dy,dz]);

/* Ecuacion del plano */
vn:[grapto[1,1],grapto[1,2],grapto[1,3],-1];
var:[x-a,y-b,z-c,w-f(a,b,c)];

vn.var;

define(plano(x,y,z),expand(vn.var)=0)$
plano(x,y,z);

/* Polinomio de Taylor  de orden 2 */;

define(jac(x,y,z),jacobian([f(x,y,z)],[x,y,z]))$
define(hes(x,y,z),hessian(f(x,y,z),[x,y,z]))$

jac(a,b,c);
hes(a,b,c);

pol:f(a,b,c)+jac(a,b,c).[x-a,y-b,z-c]+(1/2)*[x-a,y-b,z-c].hes(a,b,c).[x-a,y-b,z-c];

taylor(f(x,y,z),[x,y,z],[a,b,c],2);